Algebras de Lie finitamente apresentaveis
AUTOR(ES)
Viviane Moretto da Silva
DATA DE PUBLICAÇÃO
2005
RESUMO
Nesta dissertação de mestrado, estudamos propriedades de álgebras de Lie. As Álgebras de Lie têm grande importância nao somente na teoria de álgebras não associativas, elas surgem também em geometria, topologia e no estudo da teoria de grupos por exemplo. As definições e resultados básicos sobre álgebras de Lie estão inclusos no Capítulo 2. Para esta parte do trabalho, utilizamos os livros [1] e [2]. O nosso enfoque foi sobre álgebras universais envelopantes, mergulhando assim a álgebra de Lie em álgebras associativas (Seções 2.4, 2.5 e 2.6). O objetivo principal da dissertação foi estudar o artigo [4], ?Finite presentation of abelian-by-finite dimensional Lie algebras?, que classifica álgebras de Lie finitamente apresentáveis (no sentido de serem definidas por número finito de geradores e relações) que são extensões de ideal abeliano por álgebra de Lie de dimensão finita. Definimos álgebras de Lie livres na seção 2.7.Tratam-se de objetos na categoria de álgebras de Lie que satisfazem propriedade universal semelhante a definição de grupos livres. A classificação de álgebras de Lie que são extensões de ideal abeliano por álgebra de Lie de dimensão finita usa teoria de módulos Noetherianos. No Capítulo 1 incluímos resultados básicos sobre módulos, em particular estudamos módulos Noetherianos, não necessariamente sobre anéis comutativos (para este estudo utilizamos [9]), embora alguns resultados sejam válidos somente no caso onde o anel básico é comutativo (caso do Teorema da Base de Hilbert 1.31 no Capítulo 1). No final, nos Capítulos 3 e 4, explicamos de maneira bem minuciosa (com mais 6 detalhes que o original) o resultado principal de [4], que ´e apresentado na página 42: Proposicão 3.2: Seja L uma álgebra de Lie finitamente gerada sobre o corpo K. Suponha que L tenha um ideal abeliano A tal que L/A tem dimensão finita como espaço vetorial. Seja R álgebra universal envelopante de L/A. Suponha também que o quadrado tensorial A X A é finitamente gerado como R-módulo sobre a ação diagonal. Então L é finitamente apresentável. Os métodos da demonstração de 3.2 envolvem muitos cálculos com relações em L para mostrar que um conjunto finito E ´e suficiente para gerar todas as relações em L. Embora os cálculos sejam muitos, a técnica principal ´e a indução e a Identidade de Jacobi. A teoria de módulos Noetherianos também foi muito utilizada
ASSUNTO(S)
algebras não-associativas lie aneis noetherianos nonassociative algebras noetherian algebra de rings lie algebras
