Processos de partÃculas com comprimento variÃvel

AUTOR(ES)
DATA DE PUBLICAÇÃO

2007

RESUMO

Por muito tempo, foi (e ainda Ã) comum entre fÃsicos estatÃsticos acreditarem que transiÃÃes fÃsicas sà poderiam ocorrer em sistemas com dimensÃes maiores que um. Baseados nesta tradiÃÃo e em simulaÃÃes computacionais [1], vÃrios autores propuseram uma conjectura conhecida como âConjectura de taxas positivasâ, chamada aqui CTP, a qual defende que todo autÃmato celular unidimensional com interaÃÃo local uniforme, nÃo-degenerado à ergÃdico. VÃrios autores tentaram refutar esta hipÃtese, mas somente um obteve sucesso completo: GÃcs [2] propÃs um sistema muito complicado com _ 2100 estados, o qual refuta a CTP. Gray em trabalho posterior [3] explica os resultados obtidos por GÃcs sobre o refutar da CTP e expressou acreditar que sistemas muito simples nÃo podem refutar a CTP. Toom em [4] propÃs uma nova classe de sistemas unidimensionais com interaÃÃo local, onde componentes pode aparecer e desaparecer durante o processo de evoluÃÃo. ApÃs, o mesmo propÃs um sistema muito simples desta nova classe [5], e provou que, embora unidimensional, exibe alguma forma de nÃo-ergodicidade. Neste processo, partÃculas enumeradas por nÃmeros inteiros interagem em todo passo de tempo discreto somente com seus vizinhos mais prÃximos. Toda partÃcula tem dois estados, chamados âmenosâ e â maisâ. Inicialmente, o processo comeÃa na configuraÃÃo âtodos menosâ. Em cada passo de tempo duas transformaÃÃes ocorrem. A primeira transforma todo menos em mais com probabilidade _ independentemente do que acontece nos outros lugares. Sob a aÃÃo da segunda, sempre que um mais à um vizinho esquerdo de um menos, ambos desaparecem com probabilidade _ independentemente dos outros lugares. Dentre os resultados deste processo, Toom provou que quando _ à pequeno, a densidade de mais à sempre pequena. PorÃm, o caso que chamamos âproblemÃticoâ, com _ = 1, nÃo foi considerado por Toom, pois neste caso mesmo a existËencia do processo nÃo Âe evidente. No primeiro capÃtulo de nosso trabalho, mostramos rigorosamente que o processo de Toom està definido para este caso tambÃm e que os maiores resultados dele sobre nËao ergodicidade ainda permanecem vÃlidos, e atà mesmo apresentam melhores estimaÃÃes numÃricas. No segundo capÃtulo, nÃs estudamos o mesmo processo com qualquer valor de _ 2 [0, 1] e usamos mÃtodo de Monte Carlo e aproximaÃÃo de campo mÃdio para estimar a linha que separa as regiÃes para as quais o processo à ergÃdico vs. nÃo ergÃdico e em adiÃÃo observamos que para pequenos valores de _ e _, esta linha separadora tem a inclinaÃÃo positiva na origem. Uma limitaÃÃo do processo considerado nos capÃtulos um e dois Âe que ao imaginarmos sistemas finitos, teremos que em mÃdia o processo descrito acimaâ diminui âe portanto nÃo tem anÃlogo finito. No terceiro capÃtulo, nÃs apresentamos um outro processo com os mesmos dois estados âmenosâe âmaisâ, mas com tempo contÃnuo, composto por trÃs transformaÃÃes: a primeira, chamada flip, muda menos para mais e mais para menos com uma taxa _. Uma outra chamada aniquilaÃÃo elimina as duas partÃculas vizinhas com uma taxa _, se estas estiverem em estados diferentes. A terceira, chamada mitose, duplica qualquer partÃcula com uma taxa. Mitose nÃo foi utilizada no processo de Toom. Sua presenÃa com uma taxa satisfatÃria previne nosso processo de âdiminuirâ. O processo com mitose exibiu a mesma forma de nÃo ergodicidade como Toom provou. NÃs mostramos isto usando simulaÃÃo de Monte Carlo e estimamos as taxas para as quais nosso processo à ergÃdico vs. nÃo ergÃdico e âdiminuiâvs. ânÃo diminuiâ

ASSUNTO(S)

monte carlo method. mÃtodo monte carlo particle random process with variable length mean field theory autÃmato celular ergodicidade ergodicity processo de partÃculas com comprimento variÃvel matematica teoria de campo mÃdio phase transitions transiÃÃo de fase cellular automata

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